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Arithmetik

16.05.2012 @ 07:22, AndréWilke,

Die Arithmetik (griechisch {{Polytonisch|αριθμητική [τέχνη]}}, arithmitiké [téchne], wörtlich „die Zahlenmäßige [Kunst]“) ist ein Teilgebiet der Mathematik. Die Arithmetik wurde von den Pythagoreern begründet und in Buch VII-IX von Euklids Elementen erstmals gesammelt. Sie umfasst vor allem das Rechnen mit den Zahlen, also die Grundrechenarten Addition (Zusammenzählen), Subtraktion (Abziehen), Multiplikation (Vervielfachen), Division (Teilen) sowie die zugehörigen Rechengesetze.

Zur Arithmetik gehören auch die Gesetze der Teilbarkeit der ganzen Zahlen sowie die Division mit Rest. Weiter zu erwähnen ist das Rechnen mit Brüchen.

Der Fundamentalsatz der Arithmetik besagt: Jede natürliche Zahl größer als 1 ist ein (bis auf die Reihenfolge) eindeutiges Produkt von Primzahlen.

Die Arithmetik leitet zur Zahlentheorie über, die sich im weitesten Sinn mit der Charakteristik der Zahlen beschäftigt.

Carl Friedrich Gauß wird gerne zitiert mit der Aussage: „Die Mathematik ist die Königin der Wissenschaften, und die Arithmetik ist die Königin der Mathematik.“ – Diese Wortschöpfung lässt die Liebe zur Zahlentheorie bei C. F. Gauß erkennen und zeigt, wie sehr Mathematiker sich dieser Teildisziplin verschreiben können. Wie Gauß selber in der Vorrede seiner berühmten „Untersuchungen über höhere Arithmetik“ (siehe Literatur) bemerkt, gehören die Theorie der Kreisteilung oder der regulären Polygone, welche im siebenten Abschnitt behandelt wird, zwar an und für sich nicht in die Arithmetik; doch müssen ihre Prinzipien einzig und allein aus der höheren Arithmetik geschöpft werden. Da sich die heutige Zahlentheorie weit darüber hinaus entwickelt hat, wird lediglich die elementare Zahlentheorie auch als arithmetische Zahlentheorie (= höhere Arithmetik nach Gauß) bezeichnet. Die Bezeichnung „Arithmetik“ (elementare Arithmetik nach Gauß) im eigentlichen Sinne ist zur Hauptsache dem Rechnen vorbehalten.

Literatur

* Carl Friedrich Gauß: Untersuchungen über höhere Arithmetik, deutsch herausgegeben von H. Maser, Chelsea Publishing Company, New York 1981.
* K. Denecke, K. Todorov: Algebraische Grundlagen der Arithmetik, Heldermann Verlag, Lemgo 1994, ISBN 3-88538-104-4.
* Reinhold Remmert, Peter Ullrich: Elementare Zahlentheorie, Birkhäuser Verlag, 2. Auflage 1995, ISBN 3-7643-5197-7.

* Donald Ervin Knuth: Arithmetik. Springer, Berlin, 2001, ISBN 3-540-66745-8.

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