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Determinante

28.04.2012 @ 17:25, ,

{{Redundanztext
|3=Determinantenfunktion
|4=Determinante
|12=t|2=April 2012|1=188.107.168.62 19:24, 28. Apr. 2012 (CEST)}}

{{Dieser Artikel| behandelt den mathematischen Begriff der Determinante. Für weitere Bedeutungen dieses Begriffes siehe Determinante (Begriffsklärung).}}

In der Linearen Algebra ist die Determinante eine spezielle Funktion, die einer quadratischen Matrix oder einem Endomorphismus einen Skalar zuordnet.
Zum Beispiel hat die $2\backslash times\; 2$-Matrix
:$$
A=\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}

die Determinante

:

Formeln für größere Matrizen werden weiter unten behandelt.

Mit Hilfe von Determinanten kann man feststellen, ob ein Lineares Gleichungssystem eindeutig lösbar ist, und kann die Lösung mit der sogenannten Cramerschen Regel explizit angeben. Das Gleichungssystem ist genau dann eindeutig lösbar, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix ungleich null ist. Entsprechend ist eine quadratische Matrix mit Einträgen aus einem Körper genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante ungleich null ist.

Man kann $n$ Vektoren im $\backslash R^n$ die Determinante derjenigen quadratischen Matrix zuordnen, deren Spalten die gegebenen Vektoren bilden. Mit dieser Festlegung kann das Vorzeichen der Determinante, welche einer Basis zugeordnet ist, dazu verwendet werden, den Begriff der Orientierung in Euklidischen Räumen zu definieren. Der Absolutbetrag dieser Determinante ist gleich dem Volumen des Parallelepipeds (auch Spat genannt), das durch diese Vektoren aufgespannt wird. Eine Folgerung ist:
Wird die lineare Abbildung $f:\; \backslash R^n\backslash to\backslash R^n$ durch die Matrix $A$ repräsentiert und ist $S\backslash subseteq\backslash R^n$ eine beliebige messbare Teilmenge, dann ist das Volumen von $f(S)$ durch $|\backslash det\; A|\; \backslash cdot\; \backslash operatorname\{Volumen\}(S)$ gegeben.

Allgemeiner gilt: Wird die lineare Abbildung $f:\; \backslash R^n\backslash to\; \backslash R^m$ durch die $m\backslash times\; n$-Matrix $A$ repräsentiert, und ist $S\backslash subseteq\backslash R^n$ eine beliebige messbare Teilmenge, so ist das $n$-dimensionale Volumen von $f(S)$ gegeben durch $\backslash sqrt\{\backslash det(A^T\; A)\}\; \backslash cdot\; \backslash operatorname\{Volumen\}(S)$.

Geschichte

Historisch gesehen wurden Determinanten (lat. {{lang|la|determinare}} „abgrenzen“, „bestimmen“) bereits vor den Matrizen betrachtet. Ursprünglich war eine Determinante als eine Eigenschaft eines linearen Gleichungssystems definiert. Die Determinante „determiniert“, ob das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung besitzt (dies ist genau dann der Fall, wenn die Determinante ungleich null ist). In diesem Zusammenhang wurden 2×2-Matrizen von Cardano Ende des 16. Jahrhunderts und größere von Leibniz ungefähr 100 Jahre später behandelt.

Definition

Determinante einer quadratischen Matrix

Eine Abbildung vom Raum der quadratischen Matrizen in den zugrundeliegenden Körper bildet jede Matrix auf ihre Determinante ab, wenn sie folgende drei Eigenschaften erfüllt:

* Sie ist multilinear, d. h. linear in jeder Spalte:
:Für alle $v\_1,\backslash ldots,v\_n,w\; \backslash in\; V$ gilt:
::$\backslash begin\{align\}$
&\det(v_1,\ldots,v_{i-1},v_i+w,v_{i+1},\ldots,v_n)\\
&=\det(v_1,\ldots,v_{i-1},v_i,v_{i+1},\ldots,v_n) + \det (v_1,\ldots,v_{i-1},w,v_{i+1},\ldots,v_n)
\end{align}
:Für alle $v\_1,\backslash ldots,v\_n\; \backslash in\; V$ und alle $r\; \backslash in\; K$ gilt
::$\backslash det(v\_1,\backslash ldots,v\_\{i-1\},r\backslash cdot\; v\_i,v\_\{i+1\},\backslash ldots,v\_n)\; =\; r\; \backslash cdot\; \backslash det(v\_1,\backslash ldots,v\_\{i-1\},v\_i,v\_\{i+1\},\backslash ldots,v\_n)$
* Sie ist alternierend, d. h., wenn in zwei Spalten das gleiche Argument steht, ist die Determinante gleich 0:
:Für alle $v\_1,\backslash ldots,v\_n\; \backslash in\; V$ und alle $i,\; j\; \backslash in\; \backslash \{1,\backslash ldots,n\backslash \},\; i\backslash ne\; j$ gilt
::$\backslash det(v\_1,\backslash ldots,v\_\{i-1\},v\_i,v\_\{i+1\},\backslash ldots,v\_\{j-1\},v\_i,v\_\{j+1\}\backslash ldots,v\_n)\; =\; 0\backslash ,$
:Hieraus folgt, dass sich gerade das Vorzeichen ändert, wenn man zwei Spalten vertauscht:
:Für alle $v\_1,\backslash ldots,v\_n\; \backslash in\; V$ und alle $i,\; j\; \backslash in\; \backslash \{1,\backslash ldots,n\backslash \},\; i\backslash ne\; j$ gilt:
::$\backslash det(v\_1,\backslash ldots,v\_i,\backslash ldots,v\_j,\backslash ldots,v\_n)\; =\; -\backslash det(v\_1,\backslash ldots,v\_j,\backslash ldots,v\_i,\backslash ldots,v\_n)\backslash ,$
:Oft wird diese Folgerung zur Definition von alternierend verwendet. Im Allgemeinen ist diese jedoch nicht zur obigen äquivalent. Wird alternierend nämlich auf die zweite Weise definiert, gibt es keine eindeutige Determinantenform, wenn der Körper, über dem der Vektorraum gebildet wird, ein von 0 verschiedenes Element x mit x = -x besitzt (Charakteristik 2).
* Sie ist normiert, d. h. die Einheitsmatrix hat die Determinante 1

:$\backslash det\; E\_n=1\backslash ,$

Es lässt sich beweisen, dass es genau eine solche Abbildung gibt – die Determinantenfunktion. Auch die schon erwähnte geometrische Interpretation (Volumeneigenschaft und Orientierung) folgt daraus.

Leibniz-Formel

Für eine $n\; \backslash times\; n$-Matrix wurde die Determinante von Gottfried Wilhelm Leibniz durch die heute als Leibniz-Formel bekannte Formel definiert:

:$\backslash det\; A\; =\; \backslash sum\_\{\backslash sigma\; \backslash in\; S\_n\}\; \backslash left(\backslash operatorname\{sgn\}(\backslash sigma)\; \backslash prod\_\{i=1\}^n\; a\_\{i,\; \backslash sigma(i)\}\backslash right)$

Die Summe wird über alle Permutationen $\backslash sigma$ der symmetrischen Gruppe vom Grad n berechnet und $\backslash operatorname\{sgn\}(\backslash sigma)$ bezeichnet das Signum der Permutation $\backslash sigma$: +1, falls $\backslash sigma$ eine gerade Permutation ist und -1, falls sie ungerade ist.

Ob eine Permutation gerade oder ungerade ist, erkennt man an der Anzahl der Transpositionen, die benötigt worden sind, um die Permutation zu erzeugen. Eine gerade Anzahl an Vertauschungen bedeutet, dass die Permutation gerade ist, eine ungerade Anzahl an Vertauschungen bedeutet, dass die Permutation ungerade ist.

Beispiel

* $(1,\; 2,\; 3)\backslash mapsto(2,\; 3,\; 1)$ zwei Vertauschungen und somit gerade $\backslash Rightarrow\backslash sgn(\backslash sigma)\; =\; 1$

* $(1,\; 2,\; 3)\backslash mapsto(2,\; 1,\; 3)$ eine Vertauschung und somit ungerade $\backslash Rightarrow\backslash sgn(\backslash sigma)\; =\; -1$

Diese Formel enthält $n!$ Summanden und ist somit unhandlich, falls $n$ größer als 3 ist. Sie eignet sich jedoch zum Beweis von Aussagen über Determinanten.

Eine alternative Schreibweise der Leibniz-Formel verwendet das Levi-Civita-Symbol und die Summenkonvention:
:$$
\det A = \varepsilon_{i_1 i_2 \dots i_n} A_{1i_1} A_{2i_2} \dots A_{ni_n}

.

Verallgemeinerung

Auf die gleiche Weise kann man die Determinante für Matrizen definieren, deren Einträge in einem kommutativen Ring mit Eins liegen. Dies erfolgt mit Hilfe einer gewissen antisymmetrischen multilinearen Abbildung: Falls $R$ ein kommutativer Ring ist und $M=R^n$ der $n$-dimensionale freie $R$-Modul, dann sei
: $f\backslash colon\; M^n\backslash to\; R$
die eindeutig bestimmte Abbildung mit den folgenden Eigenschaften:
* $f$ ist $R$-linear in jedem der $n$ Argumente.
* $f$ ist antisymmetrisch, d. h. falls zwei der $n$ Argumente gleich sind, so liefert $f$ Null.

* $f\backslash left(e\_1,\; \backslash ldots,\; e\_n\backslash right)\; =\; 1$, wobei $e\_i$ das Element von $M$ ist, das eine 1 als $i$-te Koordinate hat und sonst Nullen.

Eine Abbildung mit den ersten beiden Eigenschaften wird auch als Determinantenfunktion, Volumen oder alternierende $n$-Linearform bezeichnet. Man erhält die Determinante, indem man $M^n$ auf natürliche Weise mit dem Raum der quadratischen Matrizen $R^\{n\backslash times\; n\}$ identifiziert:

: $\backslash det\backslash colon\; R^\{n\backslash times\; n\}\; \backslash cong\; M^n\backslash xrightarrow\; f\; R$.

Determinante eines Endomorphismus

Es sei $V$ ein $n$-dimensionaler Vektorraum über einem Körper $K$. (Allgemeiner kann man auch einen kommutativen Ring $K$ mit Einselement und einem freien Modul vom Rang $n$ über $K$ betrachten.)

Die Determinante $\backslash det\; f$ einer $K$-linearen Abbildung $f\backslash colon\; V\backslash to\; V$ ist die Determinante $\backslash det\; A$ einer Darstellungsmatrix $A$ von $f$ bezüglich einer Basis von $V$. Sie ist unabhängig von der Wahl der Basis.

Die Definition lässt sich ohne Verwendung von Matrizen folgendermaßen formulieren: Sei $\backslash omega$ eine Determinantenfunktion. Dann ist $\backslash det\; f$ bestimmt durch $f^*\backslash omega\; =\; \backslash left(\backslash det\; f\backslash right)\; \backslash omega$, wobei $f^*$ der Rücktransport von Multilinearformen durch $f$ ist. Es sei $\backslash left(v\_1,\backslash ldots,v\_n\backslash right)$ eine Basis von $V$. Dann gilt
:$$
\det f :=
\frac{\omega\left(f\left(v_1\right),\ldots,f\left(v_n\right)\right)}{\omega\left(v_1,\ldots,v_n\right)}
.

Es ist $\backslash det\; f$ unabhängig von der Wahl von $\backslash omega$ und der Basis. Geometrisch interpretiert erhält man das Volumen des von $\backslash left(f\backslash left(v\_1\backslash right),\backslash ldots,f\backslash left(v\_n\backslash right)\backslash right)$ aufgespannten Spates, indem man das Volumen des von $\backslash left(v\_1,\backslash ldots,v\_n\backslash right)$ aufgespannten Spates mit dem Faktor $\backslash det\; f$ multipliziert.

Eine alternative Definition ist die folgende: Es sei $\backslash det\; V=\backslash Lambda^nV$ die $n$-te äußere Potenz von $V$ und $\backslash det\; f\; =\; \backslash Lambda^nf\backslash colon\backslash ;\backslash det\; V\backslash to\backslash det\; V,\backslash ;\; v\_1\backslash wedge\backslash ldots\backslash wedge\; v\_n\; \backslash mapsto\; f\backslash left(v\_1\backslash right)\backslash wedge\backslash ldots\backslash wedge\; f\backslash left(v\_n\backslash right)$. ($\backslash Lambda^nf$ ergibt sich durch universelle Konstruktion als Fortsetzung von $f$ auf die äußere Algebra $\backslash Lambda\; V$, eingeschränkt auf die Komponente vom Grad $n$.) Dann ist $\backslash det\; V$ ein eindimensionaler $K$-Vektorraum (bzw. ein freier $K$-Modul vom Rang 1), also kann die lineare Abbildung $\backslash det\; f$ mit einem Element von $K$ identifiziert werden; dieses Element ist die Determinante von $f$.

Formale Determinanten

Für manche Zwecke betrachtet man auch formale Determinanten, deren Einträge sowohl Skalare als auch Vektoren sind, z. B. bei der Definition eines verallgemeinerten Kreuzprodukts. Diese werden mit der Leibniz-Formel berechnet.

Berechnung

Matrizen bis zur Größe 3×3

Für eine nur aus einem Koeffizienten bestehende $1\; \backslash times\; 1$-Matrix $A$ ist
:$\backslash det\; A\; =\; \backslash det\; \backslash begin\{pmatrix\}$
a_{11}

\end{pmatrix} = a_{11}.

Ist $A$ eine $2\; \backslash times\; 2$-Matrix, dann ist
:$\backslash det\; A=\backslash det$
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{pmatrix}

= a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}.

Für eine $3\; \backslash times\; 3$-Matrix $A$ gilt die Formel
:$\backslash begin\{align\}$
\det A &= \det
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{pmatrix}
\\ &= a_{11} a_{22} a_{33} +a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{13} a_{22} a_{31} - a_{12} a_{21} a_{33} - a_{11} a_{23} a_{32}.
\end{align}

Will man diese Determinante von Hand berechnen, so stellt die Regel von Sarrus dafür ein einfaches Schema zur Verfügung.

Spatprodukt

Liegt eine $3\; \backslash times\; 3$-Matrix vor, lässt sich deren Determinante auch über das Spatprodukt berechnen.

Gaußsches Eliminationsverfahren zur Determinantenberechnung

Allgemein können Determinanten mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren unter Verwendung der folgenden Regeln berechnet werden:
* Ist $A$ eine Dreiecksmatrix, dann ist das Produkt der Hauptdiagonalelemente die Determinante von $A$.
* Falls $B$ sich aus $A$ ergibt, indem man zwei Zeilen oder Spalten vertauscht, dann ist $\backslash det\; B=-\backslash det\; A$
* Falls $B$ sich aus $A$ ergibt, indem man ein Vielfaches einer Zeile oder Spalte zu einer anderen Zeile oder Spalte addiert, dann ist $\backslash det\; B=\backslash det\; A$.

* Falls $B$ sich aus $A$ ergibt, indem man ein $c$-faches einer Zeile oder Spalte bildet, dann ist $\backslash det\; B=c\backslash cdot\; \backslash det\; A$.

Beginnend mit einer beliebigen quadratischen Matrix benutzt man die letzten drei dieser vier Regeln, um die Matrix in eine obere Dreiecksmatrix zu überführen, und berechnet dann die Determinante als Produkt der Diagonalelemente.

Auf diesem Prinzip basiert auch die Determinantenberechnung mittels der LR-Zerlegung. Da sowohl $L$ als auch $R$ Dreiecksmatrizen sind, ergeben sich ihre Determinanten aus dem Produkt der Diagonalelemente, die bei $L$ alle auf 1 normiert sind. Gemäß des Determinantenproduktsatzes ergibt sich die Determinante damit aus dem Zusammenhang

:$\backslash det\; A\; =\backslash det\backslash left(L\; \backslash cdot\; R\backslash right)\; =\backslash det\; L\; \backslash cdot\; \backslash det\; R\; =\backslash det\; R\; =r\_\{1,1\}\backslash cdot\; r\_\{2,2\}\backslash dotsb\; r\_\{n,n\}.$

Laplacescher Entwicklungssatz

Mit dem Laplaceschen Entwicklungssatz kann man die Determinante einer $n\; \backslash times\; n$-Matrix „nach einer Zeile oder Spalte entwickeln“. Die beiden Formeln lauten
:$\backslash det\; A\; =\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\; (-1)^\{i+j\}\; \backslash cdot\; a\_\{ij\}\; \backslash cdot\; \backslash det\; A\_\{ij\}$ (Entwicklung nach der $j$-ten Spalte)
:$\backslash det\; A\; =\; \backslash sum\_\{j=1\}^n\; (-1)^\{i+j\}\; \backslash cdot\; a\_\{ij\}\; \backslash cdot\; \backslash det\; A\_\{ij\}$ (Entwicklung nach der $i$-ten Zeile)

wobei $A\_\{ij\}$ die $(n-1)\; \backslash times\; (n-1)$-Untermatrix von $A$ ist, die durch Streichen der $i$-ten Zeile und $j$-ten Spalte entsteht. Das Produkt $(-1)^\{i+j\}\backslash det\; A\_\{ij\}$ wird Cofaktor $\backslash tilde\; a\_\{ij\}$ genannt.

Genau genommen gibt der Entwicklungssatz nur ein Verfahren an, die Summanden der Leibniz-Formel in einer bestimmten Reihenfolge zu berechnen. Dabei wird die Determinante bei jeder Anwendung um eine Dimension reduziert. Falls gewünscht, kann das Verfahren so lange angewandt werden, bis sich ein Skalar ergibt. Ein Beispiel ist
: $$
\begin{vmatrix}
0 & 1 & 2 \\
3 & 2 & 1 \\
1 & 1 & 0
\end{vmatrix}
=
0 \cdot
\begin{vmatrix}
2 & 1 \\
1 & 0
\end{vmatrix}
-1 \cdot
\begin{vmatrix}
3 & 1 \\
1 & 0
\end{vmatrix}
+2 \cdot
\begin{vmatrix}
3 & 2 \\
1 & 1
\end{vmatrix}
= 0 + 1 + 2
= 3

(Entwicklung nach der ersten Zeile)

Der Laplacesche Entwicklungssatz lässt sich auf folgende Weise verallgemeinern. Statt nur nach einer Zeile oder Spalte kann man auch nach mehreren Zeilen oder Spalten entwickeln. Die Formel dafür lautet
:$\backslash det\; A\; =\; \backslash sum\_\{|J|=|I|\}\; (-1)^\{\backslash sum\; I+\backslash sum\; J\}\backslash det\; A\_\{IJ\}\backslash det\; A\_\{I\text{'}J\text{'}\}$,

mit den folgenden Bezeichnungen: $I$ und $J$ sind Teilmengen von $\backslash \{1,\backslash ldots,n\backslash \}$ und $A\_\{IJ\}$ ist die Untermatrix von $A$, die aus den Zeilen mit den Indizes aus $I$ und den Spalten mit den Indizes aus $J$ besteht. $I\text{'}$ und $J\text{'}$ bezeichnen die Komplemente von $I$ und $J$. $\backslash sum\; I\; =\; \backslash sum\backslash nolimits\_\{i\backslash in\; I\}\; i$ ist die Summe der Indizes aus $I$. Für die Entwicklung nach den Zeilen mit den Indizes aus $I$ läuft die Summe über alle $J\backslash subseteq\; \backslash \{1,\backslash ldots,n\backslash \}$, wobei die Anzahl dieser Spaltenindizes $|J|$ gleich der Anzahl der Zeilen $|I|$ ist, nach denen entwickelt wird. Für die Entwicklung nach den Spalten mit den Indizes aus $J$ läuft die Summe über $I$. Die Anzahl der Summanden ergibt sich als der Binomialkoeffizient $\backslash binom\{n\}\{k\}$ mit $k=|I|=|J|$.

Effizienz: Der Aufwand für die Berechnung nach dem Laplaceschen Entwicklungssatz für eine Matrix der Dimension n × n ist von der Ordnung O(n!), während die üblichen Verfahren nur von O(n³) sind und teilweise noch besser (siehe beispielsweise Strassen-Algorithmus) gestaltet werden können. Dennoch kann der Laplacesche Entwicklungssatz bei kleinen Matrizen und Matrizen mit vielen Nullen gut angewendet werden.

Eigenschaften

Determinantenproduktsatz

Die Determinante ist eine multiplikative Abbildung in dem Sinne, dass
: $\backslash det(A\backslash cdot\; B)\; =\; \backslash det\; A\backslash cdot\; \backslash det\; B$ für alle $n\backslash times\; n$-Matrizen $A$ und $B$.
Das bedeutet, dass die Abbildung $\backslash det:\backslash ;\backslash mathrm\{GL\}(n,K)\backslash rightarrow\; K^*$ ein Gruppenhomomorphismus von der allgemeinen linearen Gruppe in die Einheitengruppe $K^*$ des Körpers ist. Der Kern dieser Abbildung ist die spezielle lineare Gruppe.

Allgemeiner gilt für die Determinante einer quadratischen Matrix, welche das Produkt zweier (nicht notwendig quadratischer) Matrizen ist, der Satz von Binet-Cauchy.

Noch allgemeiner ergibt sich als unmittelbare Folgerung aus dem Satz von Binet-Cauchy eine Formel für die Berechnung eines Minors der Ordnung $k$ eines Produktes zweier Matrizen. Ist $A$ eine $m\backslash times\; n$-Matrix und $B$ eine $n\backslash times\; p$-Matrix und ist $I\backslash subseteq\; \backslash \{1,\backslash ldots,n\backslash \}$ und $J\backslash subseteq\; \backslash \{1,...,p\backslash \}$ mit $|I|=|J|=k$, dann gilt mit den Bezeichnungen wie beim verallgemeinerten Entwicklungssatz
:$\backslash det(A\backslash cdot\; B)\_\{IJ\}=\backslash sum\_\{K\backslash subseteq\; \backslash \{1,\backslash ldots,n\backslash \},|K|=k\}\backslash det\; A\_\{IK\}\backslash det\; B\_\{KJ\}$,

Der Fall $m=p=k$ liefert den Satz von Binet-Cauchy (welcher für n=m zum gewöhnlichen Determinantenproduktsatz wird) und der Spezialfall $k=1$ liefert die Formel für die gewöhnliche Matrizenmultiplikation.

Multiplikation mit Skalaren

Es ist einfach zu sehen, dass $\backslash det\backslash left(r\backslash cdot\; I\_n\backslash right)=r^n$ und somit

:$\backslash det\backslash left(rA\backslash right)\; =\; r^n\backslash det\; A$     für alle $n\backslash times\; n$ Matrizen $A$ und alle Skalare $r$.

Existenz der inversen Matrix

{{Hauptartikel|Reguläre Matrix}}

Eine Matrix $A$ ist genau dann invertierbar also regulär, falls $\backslash det\; A$ eine Einheit des zugrundeliegenden Ringes ist (das heißt $\backslash det\; A$ ungleich null für Körper). Falls $A$ invertierbar ist, dann ist $\backslash det\backslash left(A^\{-1\}\backslash right)=\backslash left(\backslash det\; A\backslash right)^\{-1\}$.

Transponierte Matrix

Eine Matrix und ihre Transponierte haben dieselbe Determinante

:$\backslash det\; A=\backslash det\; A^T.$

Ähnliche Matrizen

{{Hauptartikel|Ähnlichkeit (Matrix)}}

Falls $A$ und $B$ ähnlich sind, das heißt falls eine invertierbare Matrix $X$ existiert, so dass $A=\; X^\{-1\}\backslash cdot\; B\backslash cdot\; X$, dann stimmen ihre Determinanten überein, denn
:$\backslash begin\{align\}$
\det A = &\det\left(X^{-1}\cdot B\cdot X\right)\\
= &\det\left(X^{-1}\right)\cdot\det\left(B\right)\cdot\det (X)\\
= &\det\left(X\right)^{-1}\cdot\det\left(B\right)\cdot\det\left(X\right)\\
= &\det B.
\end{align}

Deswegen kann man unabhängig von einer Koordinatendarstellung die Determinante einer linearen Selbstabbildung $f\backslash colon\; V\backslash to\; V$ definieren (wobei $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum ist), indem man eine Basis für $V$ wählt, die Abbildung $f$ durch eine Matrix relativ zu dieser Basis beschreibt und die Determinante dieser Matrix nimmt. Das Ergebnis ist unabhängig von der gewählten Basis.

Es gibt Matrizen, die die gleiche Determinante haben, aber nicht ähnlich sind.

Blockmatrizen

Für die Determinante einer $2\backslash times\; 2$-Blockmatrix
:
mit quadratischen Blöcken $A$ und $D$ kann man unter gewissen Voraussetzungen Formeln angeben, welche die Blockstruktur ausnutzen. Für $B=0$ oder $C=0$ folgt aus dem verallgemeinerten Entwicklungssatz:
:.
Ist $A$ invertierbar, so folgt aus der Zerlegung
:
die Formel
:.
Im Spezialfall, dass alle vier Blöcke die gleiche Größe haben und paarweise kommutieren, ergibt sich daraus mit Hilfe des Determinantenproduktsatzes
:.
Dabei bezeichne $R\backslash subseteq\; K^\{n\backslash times\; n\}$ einen kommutativen Unterring des Ringes aller $n\backslash times\; n$-Matrizen mit Einträgen aus dem Körper $K$, so dass $\backslash \{A,B,C,D\backslash \}\backslash subseteq\; R$ (zum Beispiel den von diesen vier Matrizen erzeugten Unterring), und $\backslash det\_R:\; R^\{2\backslash times\; 2\}\; \backslash rightarrow\; R$ sei die entsprechende Abbildung, die einer quadratischen Matrix mit Einträgen aus $R$ ihre Determinante zuordnet. Diese Formel gilt auch, falls A nicht invertierbar ist, und verallgemeinert sich für Matrizen aus $R^\{m\backslash times\; m\}$.John R. Silvester: Determinants of Block Matrices. In:

The Mathematical Gazette. Vol. 84, No. 501 (November 2000), S. 460-467 ([http://www.mth.kcl.ac.uk/~jrs/gazette/blocks.pdf PDF; 148KB]).

Eigenwerte

Versteht man die $n\backslash times\; n$-Matrix $A$ als lineare Abbildung, so kann man Eigenwerte der linearen Abbildung beziehungsweise der Matrix bestimmen. Die Determinante ist dann das Produkt dieser Eigenwerte. Seien also $\backslash lambda\_1,\; \backslash ldots,\backslash lambda\_n$ Eigenwerte von $A$ (ein jeder mit seiner Vielfachheit auftretend), dann gilt
:$\backslash det\; (A)\; =\; \backslash lambda\_1^\{r\_1\}\backslash lambda\_2^\{r\_2\}\; \backslash cdots\; \backslash lambda\_n^\{r\_n\}.$

Kennt man also die Eigenwerte einer Matrix, und gibt es derer $n$ Stück, so kann man mit diesen die Determinante einfach berechnen.

Ableitung

Die Determinante von reellen quadratischen Matrizen fester Dimension $n$ ist eine Polynomfunktion $\backslash det:\backslash R^\{n\backslash times\; n\}\backslash to\; \backslash R$ und als solche überall differenzierbar. Ihre Ableitung kann mit Hilfe von Jacobis Formel dargestellt werden:
:$d\backslash det\; A\; =\; \backslash operatorname\{spur\}\backslash left(A^\backslash \#\; d\; A\; \backslash right),$
wobei $A^\backslash \#$ die zu $A$ komplementäre Matrix bezeichnet. Insbesondere ergibt sich für invertierbares $A$, dass
:$d\backslash det\; A\; =\; \backslash det\; A\; \backslash cdot\backslash operatorname\{spur\}\backslash left(A^\{-1\}dA\backslash right)$
oder vereinfacht,
:$\backslash det\backslash left(\; A\; +\; X\backslash right)\; -\; \backslash det\; A\backslash approx\; \backslash det\; A\backslash cdot\backslash operatorname\{spur\}\backslash left(\; A^\{-1\}\backslash ,X\backslash right),$
falls die Werte der Matrix $X$ hinreichend klein sind. Der Spezialfall wenn $A$ gleich der Einheitsmatrix $E$ ist, ergibt

:$\backslash det\; \backslash left(E\; +\; X\backslash right)\; \backslash approx\; 1\; +\; \backslash operatorname\{spur\}X.$

Ähnliche Begriffe

Die Permanente ist ein „vorzeichenloses“ Analogon zur Determinante, wird allerdings viel seltener verwendet.

Siehe auch

• Determinantenfunktion
  * Wronski-Determinante
  * Pfaffsche Determinante
  * Vandermonde-Determinante
  * Gramsche Determinante
  * Funktionaldeterminante (Jacobi-Determinante)
  * Cramersche Regel
  

  * Regel von Sarrus

  Weblinks

* {{Wikiversity|Kurs:Mathematik I (Osnabrück 2009 2010)/Vorlesung 14|Einführung der Determinante auf Wikiversity}}
* [http://wwwopt.mathematik.tu-darmstadt.de/~bokowski/pdf/determinante.pdf Eigenschaften, Berechnung der Determinante, Beweise (pdf)] (237 kB)
* [http://www.mathematik.net/determinanten/pdf-blumberg/kahl.pdf Die Determinantenfunktion (pdf)] (111 kB)

* [http://www.arndt-bruenner.de/mathe/determinanten.htm Online-Tool zum Berechnen von Determinanten]

Einzelnachweise

Kategorie:Lineare Algebra

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Déterminant (mathématiques)
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