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zu entnehmen.

Beispiele

* Sei $\backslash mathcal\{S\}$ der Schwartz-Raum und $\backslash mathcal\{F\}\; :\; \backslash mathcal\{S\}\; \backslash to\; \backslash mathcal\{S\}$ die kontinuierliche Fourier-Transformation. Für die Dichtefunktion $\backslash varphi(x)=\backslash tfrac\; \{1\}\{\backslash sqrt\{2\backslash pi\}^n\}\; \backslash cdot\; e^\{-\backslash tfrac\; \{1\}\{2\}\; x^2\}$ der $n$-dimensionalen Normalverteilung gilt $\backslash mathcal\{F\}(\backslash varphi)\; =\; \backslash varphi$. Daher ist die Dichtefunktion der Normalverteilung ein Fixpunkt der Fourier-Transformation.

Raum mit Fixpunkteigenschaft

Definition

Ein topologischer Raum $X$ besitzt die Fixpunkteigenschaft, falls jede stetige Abbildung $f\; \backslash colon\; X\; \backslash to\; X$ einen Fixpunkt hat.Ilka Agricola & Thomas Friedrich: Vektoranalysis: Differentialformen in Analysis, Geometrie und Physik. Vieweg+Teubner, 2., überarbeitete und erweiterte Auflage, 2010, ISBN 3834810169, Seite 36

Beispiele

* Eine Vollkugel $D^n$ hat die Fixpunkteigenschaft. Dies besagt der Fixpunktsatz von Brouwer.

Fixpunktsätze

{{Hauptartikel|Fixpunktsatz}}

Wenn eine Selbstabbildung nur stetig ist, muss der Fixpunkt nicht eindeutig sein und andere Fixpunktsätze zeigen dann nur die Existenz. Dabei stellen sie meist stärkere Voraussetzungen an den Raum, auf dem die Funktion definiert ist. Beispielsweise zeigt der Fixpunktsatz von Schauder die Existenz eines Fixpunktes in einer kompakten, konvexen Teilmenge eines Banachraums. Dieser Satz ist eine Verallgemeinerung des Fixpunktsatzes von Brouwer, der besagt, dass jede stetige Abbildung der abgeschlossenen Einheitskugel in sich selbst einen Fixpunkt besitzt. (In popularisierter Form ist der Satz auch als „Satz vom Igel“ bekannt: "Jeder stetig gekämmte Igel besitzt mindestens einen Glatzpunkt“.) Im Gegensatz zu den beiden anderen Sätzen gilt dieser allerdings nur in endlichdimensionalen Räumen, also im $\backslash mathbb\{R\}^n$ oder im $\backslash mathbb\{C\}^n$.

Der Fixpunktsatz von Banach liefert außerdem die Konvergenz und eine Fehlerabschätzung der Fixpunkt-Iteration $x\_\{n+1\}=f(x\_n)$ im betrachteten Raum. Dieser Satz ergibt somit ein konkretes numerisches Verfahren zur Berechnung von Fixpunkten.

Siehe auch

* Fixpunktgerade

Einzelnachweise

Literatur

* Vasile I. Istratescu, Fixed Point Theory, An Introduction, D.Reidel, Holland (1981). ISBN 90-277-1224-7

Kategorie:Topologie

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