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Normalform (Spieltheorie)

08.07.2011 @ 18:03, UKoch,

Die Normalform bezeichnet in der Spieltheorie eine Darstellungsform von Spielen, die sich im Wesentlichen auf die A-Priori-Strategiemengen der einzelnen Spieler und eine Auszahlungsfunktion als Funktion der gewählten Strategiekombinationen beschränkt. Gerecht wird diese Darstellungsform am ehesten solchen Spielen, bei denen alle Spieler ihre Strategien gleichzeitig und ohne Kenntnis der Wahl der anderen Spieler festlegen.

Eine Alternative ist die Extensivform, deren Stärke in der anschaulichen Darstellung zeitlicher oder logischer Abfolgen liegt.

Die Normalform für Spiele wurde erstmals von Émile Borel (1921) und John von Neumann (1928) beschrieben, die erkannten, dass im Prinzip jedes Strategiespiel in eine solche Form transformiert werden kann.

Definition

Die Normalform eines Spiels ist ein Tupel $\backslash Gamma\; =\; (N,\; \backslash Sigma,\; u)$ mit den folgenden Elementen:
;Menge der Spieler: $N\; =\; \backslash \{1,\; 2,\; \backslash ldots,\; n\backslash \}$
;Strategieraum:$\backslash Sigma\; =\; \backslash Sigma\_1\; \backslash times\; \backslash Sigma\_2\; \backslash times\; \backslash dotsb\; \backslash times\; \backslash Sigma\_n$
:$\backslash Sigma\_i$ bezeichnet die Strategiemenge des Spielers $i$, aus der er seine Züge wählen kann.
;Nutzenfunktion:$u\backslash colon\backslash Sigma\; \backslash to\; \backslash R^n$

:Dabei ist $u\_i\backslash colon\backslash Sigma\; \backslash to\; \backslash R$ die Nutzenfunktion des Spielers $i$. Abhängig von der eigenen Strategie und der Strategie der anderen Spieler hat der Spieler einen Nutzen oder eine Auszahlung von $u\_i(\backslash sigma\_1,\backslash ldots,\backslash sigma\_i,\backslash ldots,\; \backslash sigma\_n)$.

Gemischte und reine Strategien

In den so genannten reinen Strategien wählen die Spieler genau ein $\backslash sigma\_i\; \backslash in\; \backslash Sigma\_i$. Für manche Spiele ist es jedoch notwendig, den Spielern zusätzlich die Möglichkeit einzuräumen, zufällig die Strategien auszuwählen und zuvor lediglich die Wahrscheinlichkeitsverteilung über $\backslash Sigma\_i$ anzugeben, mit denen die einzelnen $\backslash sigma\_\{i,j\}\backslash in\backslash Sigma\_i$ ausgewählt werden. Dabei bezeichnet $s\_i$ die Parameter dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung und $S\_i$ die Menge der möglichen Parameterkombinationen.

Ist $\backslash Sigma\_i$ endlich beziehungsweise abzählbar, so ist $s\_i$ ein Vektor, wobei $s\_\{i,j\}$ die Wahrscheinlichkeit angibt, dass die Strategie $\backslash sigma\_\{i,j\}$ gewählt wird. Man spricht bei $s\_i$ von einer gemischten Strategie.

Das Tupel $S(\backslash Gamma)\; =\; (N,\; S,\; u)$ ist die Normalform eines solchen Spiels in gemischten Strategien. Dabei gilt $S\; =\; S\_1\; \backslash times\; S\_2\; \backslash times\; \backslash dotsb\; \backslash times\; S\_n$, und $u\backslash colon\; S\; \backslash to\; \backslash R^n$ ist der erwartete Nutzen.

Darstellung in Tabellenform

thumb|Bimatrix ([[Kampf der Geschlechter)]]

Werden nur Spiele mit 2 Spielern, $N=\backslash \{1,2\backslash \}$, betrachtet und sind die Strategiemengen $\backslash Sigma\_\{1,2\}$ endlich und überschaubar, kann man ein Spiel in Normalform auch als eine Tabelle, die Auszahlungsmatrix, darstellen:

{| border=1
!Spieler 1\Spieler 2
!$\backslash sigma\_\{2,1\}$
!$\backslash sigma\_\{2,2\}$
|-
!$\backslash sigma\_\{1,1\}$
|(3,3)
|(1,2)
|-
!$\backslash sigma\_\{1,2\}$
|(2,1)
|(1,1)

|}

In diesem Fall bezeichnet die erste Zahl in der Klammer die Auszahlung des Spielers 1 und die zweite Zahl die Auszahlung des Spielers 2 bei der entsprechenden Strategienkombination. Wählt Spieler 1 beispielsweise Strategie $\backslash sigma\_\{1,1\}$ und Spieler 2 $\backslash sigma\_\{2,1\}$, so erhalten beide jeweils eine Auszahlung in Höhe 3.

Normalform

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Jeu sous forme normale
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pt:Forma normal (teoria dos jogos)
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zh:正则形式的博弈

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