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Verteilungsfunktion

13.05.2012 @ 12:08, ,

{{Dieser Artikel|behandelt die Verteilungsfunktion in der Wahrscheinlichkeitsrechnung; zur Verteilungsfunktion in der beschreibenden Statistik siehe Empirische Verteilungsfunktion.}}

Eine (kumulative) Verteilungsfunktion ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie eine Funktion, die die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer reellen Zufallsvariable beschreibt. Alle die Zufallsvariable betreffenden Wahrscheinlichkeiten lassen sich mit Hilfe der Verteilungsfunktion auswerten.

In der Regel spricht man einfach von einer Verteilungsfunktion. Die explizite Kennzeichnung als kumulativ kann helfen, Verwechslungen mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion oder Dichtefunktion zu vermeiden.

Die Verteilungsfunktion ist eine der grundlegenden Begriffsbildungen der Wahrscheinlichkeitstheorie, wenngleich in neuerer Literatur der Fokus stärker auf Verteilungen selbst liegt.

Definition

Auf einem Wahrscheinlichkeitsraum $(\backslash Omega\; ,\; \backslash Sigma,\; P)$ wird die Verteilungsfunktion einer reellen Zufallsvariablen :$X\backslash colon\; \backslash \; \backslash Omega\; \backslash to\backslash R$ meist als diejenige Funktion $F\_X\; \backslash colon\; \backslash R\; \backslash to\; [0,1]$ definiert, die angibt, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Zufallsvariable einen Wert kleiner oder gleich $x$ annimmt:Robert B. Ash: Real Analysis and Probability. Academic Press, New York 1972. ISBN 0-12-065201-3. Definition 5.6.2.
:$F\_X(x)\; =\; P(X\; \backslash le\; x)\; =\; P(\backslash \{X\; \backslash le\; x\backslash \})\; =\; P\backslash left(\backslash lbrace\backslash omega\backslash in\backslash Omega\backslash mid\; X(\backslash omega\; )\backslash leq\; x\backslash rbrace\backslash right),\backslash \; x\backslash in\backslash R.$

Neben der meist verwendeten Notation $P(X\; \backslash le\; x)$ werden auch weitere Notationen wie $P\backslash \{X\; \backslash le\; x\backslash \},\; P[X\backslash le\; x]$ und $Pr[X\backslash le\; x]$ verwendet.

Wenn klar ist, bezüglich welcher Zufallsvariablen die Verteilungsfunktion definiert ist, so wird diese mit $F(x)$ angegeben.

Gelegentlich findet sich auch eine leicht abweichende Definition, siehe den Abschnitt alternative Definition.

Eine Erweiterung der Definition auf mehrdimensionale Zufallsvariablen ist möglich, jedoch aufwendig.

Eigenschaften von Verteilungsfunktionen und Zusammenhang zur Verteilung

miniatur|Verteilungsfunktionen einer diskreten, einer stetigen und einer gemischten Zufallsvariable.

Jede Verteilungsfunktion $F\backslash colon\backslash R\backslash rightarrow\; [0,1]$ hat folgende Eigenschaften:
# $F$ ist monoton steigend.
# $F$ ist rechtsseitig stetig.

# $\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; -\backslash infty\}\; F(x)\; =\; 0$ und $\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; \backslash infty\}\; F(x)\; =\; 1$.

Darüber hinaus ist jede Funktion $F\backslash colon\backslash R\backslash rightarrow\; [0,1]$, die die Eigenschaften 1-3 erfüllt, eine Verteilungsfunktion, folglich ist eine Charakterisierung der Verteilungsfunktion mit Hilfe der drei Eigenschaften möglich. So gibt es zu jeder Verteilungsfunktion $F\backslash colon\backslash mathbb\{R\}\backslash rightarrow\; [0,1]$ genau eine Verteilung $\backslash mu\_F\backslash colon\backslash mathcal\{B\}(\backslash mathbb\{R\})\backslash to[0,1]$, sodass für alle $x\backslash in\backslash mathbb\{R\}$ gilt:
:$\backslash mu\_F\backslash left(]-\backslash infty,x]\backslash right)=F(x)$
Andersherum gibt es zu jeder Verteilung $\backslash mu\backslash colon\backslash mathcal\{B\}(\backslash mathbb\{R\})\backslash to[0,1]$ eine Verteilungsfunktion $F\_\backslash mu\backslash colon\backslash mathbb\{R\}\backslash rightarrow\; [0,1]$, sodass für alle $x\backslash in\backslash mathbb\{R\}$ gilt:
:$\backslash mu\backslash left(]-\backslash infty,x]\backslash right)=F\_\backslash mu(x)$

Daraus folgt die Korrespondenz von $\backslash mu\_\{(F\_\backslash mu)\}=\backslash mu$ und $F\_\{(\backslash mu\_F)\}=F$. Dieser Sachverhalt wird in der Literatur auch Korrespondenzsatz genannt.Schmitz, N Vorlesungen über Wahrscheinlichkeitstheorie, Teubner, 1996

Jede Verteilungsfunktion besitzt höchstens abzählbar viele Sprungstellen.

Da jede Verteilungsfunktion rechtsstetig ist, existiert auch der rechtsseitige Grenzwert und es gilt für alle $x\backslash in\backslash mathbb\{R\}$:
:$\backslash mu\_F[\backslash \{x\backslash \}]=F(x)-\backslash lim\_\{\backslash varepsilon\backslash to0+\}F(x-\backslash varepsilon)$

Deswegen ist $F$ genau dann stetig, wenn für alle $x\backslash in\backslash mathbb\{R\}:\backslash mu(\backslash \{x\backslash \})=0$ gilt.

Rechnen mit Verteilungsfunktionen

Ist von einer Zufallsvariablen die Verteilungsfunktion bekannt, so kann man die Wahrscheinlichkeit berechnen, mit der die Zufallsvariable Werte zwischen zwei reellen Zahlen annimmt:

:

;Beispiel
Beim Würfeln errechnet sich die Wahrscheinlichkeit, eine Zahl zwischen 3 und einschließlich 5 zu würfeln, zu

:.

Überlebenswahrscheinlichkeit

Beschreibt die Verteilungsfunktion $F(t)$ die Wahrscheinlichkeit des Auftretens eines Defektes in einem System zum Zeitpunkt $t$, dann erhält man die Wahrscheinlichkeit für das einwandfreie Funktionieren (Überleben) über $t$ hinaus
:$P(X>t)\; =\; 1\; -\; F(t)\backslash ,\; ,$

wobei $X$ den Zeitpunkt des Defektes (oder Todes) bezeichnet.

Bezieht man sich nicht auf den Zeitpunkt $0$, sondern auf einen späteren Zeitpunkt $t\_\{0\}>0$, dann erhält man die bedingte Überlebenswahrscheinlichkeit

:$P\backslash left(X>t\_0+t\backslash mid\; X>t\_0\backslash right)\; =\; \backslash frac\{1-F\backslash left(t\_0+t\backslash right)\}\{1\; -\; F\backslash left(t\_0\backslash right)\}$.

Mit der Beziehung für die Überlebenswahrscheinlichkeit ergibt sich sofort eine Beziehung für die Restlebensdauer
:$$
\begin{align}
F\left(t+t_0\mid t_0\right) & = P\left(X\leq t+t_0\mid X>t_0\right)\\
&= \frac{P\left(X\leq t+t_0\right)-P\left(X\leq t_0\right)}{P(X>t_0)}\\
&= \frac{F\left(t+t_0\right)-F\left(t_0\right)}{1-F\left(t_0\right)}
\end{align}

Weiteres

* Verteilungsfunktionen können zur Definition der Konvergenz in Verteilung verwendet werden und spielen bei der Inversionsmethode eine Rolle.
* Durch die Folge der relativen Summenhäufigkeiten wird die empirische Verteilungsfunktion bestimmt.

* Falls die Verteilungsfunktion absolut stetig ist, nennt man ihre Ableitung die Dichtefunktion der Verteilung oder Zufallsvariable.

Alternative Definition

Gelegentlich wird in der Literatur die Verteilungsfunktion in der Tradition von Kolmogorow mit echt-kleiner statt mit kleiner-gleich definiert,z.B. Marek Fisz: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Elfte Auflage, Berlin 1989, Definition 2.2.1, Seite 51. also

:

Bei stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen stimmen beide Definitionen überein; bei diskreten Verteilungen unterscheiden sie sich darin, dass bei der „echt-kleiner“-Definition die Verteilungsfunktion an den Sprungstellen nicht rechtsseitig, sondern linksseitig stetig ist. Beispielsweise ergibt sich für die Binomialverteilung die Verteilungsfunktion bei der „kleiner-gleich“-Definition als

:$P(X\; \backslash le\; x)\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^\{\backslash lfloor\; x\; \backslash rfloor\}\{n\; \backslash choose\; k\}p^k\; (1-p)^\{n-k\}$,

bei der „echt-kleiner“-Definition hingegen als

:.

Im Prinzip sind aber beide Definitionen gleichwertig.

Siehe auch

* Quantil

* Liste univariater Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Literatur

* Schmidt, Klaus D.: Maß und Wahrscheinlichkeit, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89729-3

* Klenke, Achim: Wahrscheinlichkeitstheorie, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8

Einzelnachweise

Kategorie:Stochastik

ar:دالة التوزيع التراكمي
da:Fordelingsfunktion
Cumulative distribution function
eo:Distribuo
eu:Banaketa-funtzio
fa:تابع توزیع تجمعی
Fonction de répartition
he:פונקציית הצטברות
hu:Eloszlásfüggvény
it:Funzione di ripartizione
ka:ალბათური განაწილების ფუნქცია
ko:누적 분포 함수
nl:Verdelingsfunctie
no:Kumulativ fordelingsfunksjon
pl:Dystrybuanta
pt:Função distribuição acumulada
ru:Функция распределения
sk:Distribučná funkcia (štatistika)
sl:Zbirna funkcija verjetnosti
sr:Функција расподеле
su:Fungsi sebaran kumulatif
sv:Kumulativ fördelningsfunktion
tr:Birikimli dağılım fonksiyonu
uk:Функція розподілу ймовірностей
vi:Hàm phân phối tích lũy
zh:累积分布函数
zh-yue:累計函數

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