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Wahrscheinlichkeitsverteilung

28.04.2012 @ 12:16, ,

In der Wahrscheinlichkeitstheorie gibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung an, wie sich die Wahrscheinlichkeiten auf die möglichen Zufallsergebnisse, insbesondere die möglichen Werte einer Zufallsvariablen, verteilen.

Die Häufigkeitsverteilung (man erstellt sie aus empirischen Daten (Messwerten)) ist in der Deskriptiven Statistik, was die Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Wahrscheinlichkeitstheorie ist.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist das theoretische Pendant der Häufigkeitsverteilung; sie erfasst bzw. quantifiziert den Zufall in einem stochastischen Vorgang.

Man unterscheidet zwischen diskreten Verteilungen, die sich auf eine endliche oder abzählbare Menge konzentrieren, und stetigen (kontinuierlichen) Verteilungen, die sich auf größere Bereiche erstrecken und bei denen einzelne Punkte die Wahrscheinlichkeit $0$ haben. Beispiele für diskrete Verteilungen sind die Binomialverteilung und die Hypergeometrische Verteilung, die die Anzahl der Erfolge beim Ziehen aus einer Urne mit bzw. ohne Zurücklegen beschreiben, sowie die Poisson-Verteilung, die sich aus der Binomialverteilung ergibt, wenn man die Erfolgswahrscheinlichkeit immer weiter reduziert und gleichzeitig die Anzahl der Ziehungen um denselben Faktor erhöht.

Die Normalverteilung ist ein prototypischer Vertreter von stetigen Verteilungen.

Ihre Wahrscheinlichkeitsdichte bzw. deren Graph wird auch Gauß-Funktion, Gauß-Kurve, Gauß-Glocke oder Glockenkurve genannt. Mittels Normalverteilung lassen sich viele reale Situationen näherungsweise beschreiben; sie hat nützliche mathematische Eigenschaften.

Eigenschaften, welche sich allein über gemeinsame Verteilungen von Zufallsvariablen ausdrücken lassen, werden auch wahrscheinlichkeitstheoretisch genannt. Für Behandlung solcher Eigenschaften ist es nicht notwendig, die konkrete Gestalt des (Hintergrund-)Wahrscheinlichkeitsraumes zu kennen, auf dem die Zufallsvariablen definiert sind.

Wichtige wahrscheinlichkeitstheoretische Eigenschaften sind der Erwartungswert und die stochastische Unabhängigkeit.Heinz Bauer: Wahrscheinlichkeitstheorie. De Gruyter, Berlin 2002, ISBN 3-11-017236-4, S. 15.

Beschreibung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Zur Beschreibung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen verwendet man unter anderem
* Wahrscheinlichkeitsfunktionen,
* Dichtefunktionen,
* Verteilungsfunktionen und

* Wahrscheinlichkeitsmaße.

Der mathematisch allgemeinste Begriff, der nicht nur diskrete und stetige Verteilungen, sondern auch Mischungen von solchen umfasst und für beliebige Ergebnismengen Gültigkeit besitzt, ist das Wahrscheinlichkeitsmaß, d. h. eine Funktion $\backslash mu$, die jedem Ereignis $A$ eine Wahrscheinlichkeit $\backslash mu(A)$ zuordnet. In der Wahrscheinlichkeitstheorie versteht man unter der Verteilung einer Zufallsvariable $X$ das Wahrscheinlichkeitsmaß $\backslash mu(A)\; =\; P(X\backslash in\; A)$, welches die Wahrscheinlichkeiten erfasst, mit denen die Zufallsvariable bestimmte Werte annimmt (Bildmaß von $X$).

Diskrete Verteilungen lassen sich durch eine Wahrscheinlichkeitsfunktion (oder Zähldichte) $\backslash rho(x)$ beschreiben, die die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Werte $x$ angibt. Der Zusammenhang zum Wahrscheinlichkeitsmaß ergibt sich aus $\backslash rho(x)\; =\; \backslash mu(\backslash \{x\backslash \})$ bzw. $\backslash rho(x)\; =\; P(X\; =\; x)$.

Die Wahrscheinlichkeiten für beliebige Ereignisse $A$ erhält man als Summen:

:: $P(X\; \backslash in\; A)\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; \backslash sum\_\{x\backslash in\; A\}\; \backslash rho(x)$    bzw.    $\backslash mu(A)\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; \backslash sum\_\{x\backslash in\; A\}\; \backslash rho(x)$

Bei stetigen Verteilungen lassen sich Wahrscheinlichkeiten nicht als Summen von Einzelwahrscheinlichkeiten berechnen, da für stetige Zufallsvariablen $X$ stets $P(X=x)\; =\; 0$ gilt. Sie lassen sich jedoch oft als Integrale über eine Dichtefunktion (oder Wahrscheinlichkeitsdichte) $f(x)$ darstellen (stetige Verteilungen im engeren Sinne):

::$P(a\; \backslash le\; X\; \backslash le\; b)\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; \backslash int\_a^b\; f(x)\backslash ,dx$    bzw.    $\backslash ;\; \backslash mu([a,b])\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; \backslash int\_a^b\; f(x)\backslash ,dx$

Verteilungen auf den reellen Zahlen können allgemein durch die (kumulative) Verteilungsfunktion (engl. cumulative distribution function, cdf) $F(x)$ beschrieben werden. Sie gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Zufallsvariable einen Wert kleiner oder gleich $x$ annimmt:
::$F(x)\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; P(X\; \backslash le\; x)$
bzw.

::$F(x)\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; \backslash mu\backslash left(\backslash left]-\backslash infty,\; x\backslash right]\backslash right)$

Wenn die Verteilungsfunktion differenzierbar ist, ist ihre Ableitung eine Dichtefunktion der Verteilung.

Wichtige stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen

thumb|Drei Glockenkurven (Dichtefunktion normalverteilter Zufallsgrößen)
thumb|Dichten verschiedener beta-verteilter Zufallsgrößen

thumb|Dichtefunktion der F-Verteilung mit ausgewählten Freiheitsgraden $m$ und $n$

Die meisten Wahrscheinlichkeitsverteilungen lassen sich bei großer Stichprobe zur Normalverteilung überleiten. Viele natur-, wirtschafts- und ingenieurswissenschaftliche Vorgänge lassen sich durch die Normalverteilung entweder exakt oder in sehr guter Näherung beschreiben (vor allem Prozesse, die in mehreren Faktoren unabhängig voneinander in verschiedene Richtungen wirken).

Die Chi-Quadrat-Verteilung ist eine so genannte Stichprobenverteilung, die bei der Schätzung von Verteilungsparametern, beispielsweise der Varianz, Anwendung findet.

Über der gesamten Zahlengeraden:
* Normalverteilung (Gauß-Verteilung, Glockenkurve, siehe Bild)
* Cauchy-Verteilung (Lorentz-Verteilung)
* Crystal-Ball-Funktion
* Extremwertverteilung
* Fisher-Tippett-Verteilung
* Fishersche z-Verteilung
* Gumbel-Verteilung
* Laplace-Verteilung (Doppelexponentialverteilung)
* Lévy-Verteilung
* Logistische Verteilung
* Rayleigh-Verteilung
* Rossi-Verteilung

* Studentsche t-Verteilung

Für konvexe Kombinationen mehrerer Verteilungen siehe Mischverteilung, ihr Sonderfall ist die

* Kontaminierte Normalverteilung

Über einem endlichen Intervall $[a,b]$, im einfachsten Fall [0,1]:

* Betaverteilung (siehe Bild)
* Dreiecksverteilung (Simpson-Verteilung)

* Stetige Gleichverteilung (Rechteck- oder Uniformverteilung)

Über einem halbseitig unendlichen Intervall, üblicherweise als [0,∞] angenommen:

* χ²-Verteilung
* Erlang-Verteilung
* Exponentialverteilung
* F-Verteilung (siehe Bild)
* Gammaverteilung
* Inverse Normalverteilung (Inverse Gauß-Verteilung, Wald-Verteilung)
* Logarithmische Gammaverteilung
* Logarithmische Normalverteilung
* Pareto-Verteilung, Verschobene Pareto-Verteilung

* Weibull-Verteilung

Verteilungsklassen

Verteilungsklasse oder Verteilungsfamilie bezeichnet Verteilungen gleichen Typs. Man unterscheidet sie anhand unterschiedlicher mathematischer Eigenschaften. Man unterscheidet parametrische Klassen und nicht-parametrische Klassen.

Zur Klasse der parametrischen Klassen gehört die Exponentielle Familie. Sie vereinigt:
* Normalverteilung
* Binomialverteilung
* Multinomialverteilung
* Poisson-Verteilung
* Gammaverteilung
* Inverse Normalverteilung

Die Familie der Beta-Verteilungen wird "die zur Binomial-Verteilung “konjugierte” Verteilungsklasse" genannt.

Die Panjer-Verteilung vereint Negative Binomialverteilung, Binomialverteilung und Poisson-Verteilung in einer Verteilungsklasse.

Man sondiert die Verteilungsfamilie auch mit einem monotonen Dichtequotienten, die Dominierte Verteilungsfamilie, und Alpha-stabile Verteilungen auf Grund von verschiedenen Aspekten.

Siehe auch

• Liste univariater Wahrscheinlichkeitsverteilungen
  * Alpha-stabile Verteilungen; Näherungslösungen für diskrete Verteilungen
  * Heavy-tailed-Verteilung
  

  * Boltzmann-Verteilung

  Literatur

* Erich Härtter: Wahrscheinlichkeitsrechnung für Wirtschafts- und Naturwissenschaftler. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1974, ISBN 3-525-03114-9

Einzelnachweise

Weblinks

{{Wikibooks|Mathematik: Statistik: Zufallsvariablen|Einführung in Zufallsvariablen}}
* [http://www.uni-konstanz.de/FuF/wiwi/heiler/os/vt-index.html Interaktive graphische Darstellungen verschiedener Wahrscheinlichkeitsfunktionen bzw. Dichten (Uni Konstanz)]
* [http://www.gnu.org/software/gsl/manual/html_node/Random-Number-Distributions.html Katalog] der Wahrscheinlichkeitsverteilungen in der Gnu Scientific Library.
* [http://www.math.tu-clausthal.de/Arbeitsgruppen/Stochastische-Optimierung/Appletsammlung/distrtable/ Numerische Berechnung und Darstellung von Dichten und Verteilungsfunktionen einiger wichtiger Wahrscheinlichkeitsverteilungen]

* [http://wiki.physik.uni-frankfurt.de/index.php/Verteilung Weitere Verteilungen aus dem Wiki der Uni Frankfurt]

Wahrscheinlichkeitsverteilung
Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung

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bn:সম্ভাবনা বিন্যাস
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Probability distribution
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fa:توزیع احتمال
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he:התפלגות
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