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Zufallsvariable

18.05.2012 @ 17:56, HilberTraum,

In der Stochastik ist eine Zufallsvariable oder Zufallsgröße (selten stochastische Variable oder stochastische Größe) eine Variable, deren Wert vom Zufall abhängig ist. Eine Zufallsvariable lässt sich formal als Funktion beschreiben, die den Ergebnissen eines Zufallsexperiments Werte (so genannte Realisationen) zuordnet.

Zum Beispiel kann eine Wette auf den Ausgang eines Münzwurfs mithilfe einer Zufallsvariablen modelliert werden. Angenommen, es wurde auf Zahl gewettet, und wenn richtig gewettet wurde, wird 1 EUR ausgezahlt, sonst nichts. Sei $X$ die Auszahlungssumme. Da der Wert von $X$ vom Zufall abhängt, ist $X$ eine Zufallsvariable. Sie bildet die Menge der Wurfergebnisse $\backslash \{\backslash text\{Kopf\},\; \backslash text\{Zahl\}\backslash \}$ auf die Menge der möglichen Auszahlungsbeträge $\backslash \{0,\; 1\backslash \}$ ab:
:$X(\backslash omega)\; =\; \backslash begin\{cases\}$
0, & \text{wenn }\omega = \text{Kopf},\\
1, & \text{wenn }\omega = \text{Zahl}.

\end{cases}

Wettet man bei zwei Münzwürfen beide Male auf Kopf und bezeichnet die Kombination der Ausgänge der Münzwürfe mit $\backslash omega=\backslash left(\backslash omega\_1,\backslash omega\_2\backslash right)$, so lassen sich beispielsweise folgende Zufallsvariable untersuchen:
# $X\_1(\backslash omega)\; :=\; X(\backslash omega\_1)\; \backslash in\backslash \{0,1\backslash \}$ als Auszahlung nach der ersten Wette,
# $X\_2(\backslash omega)\; :=\; X(\backslash omega\_2)\; \backslash in\backslash \{0,1\backslash \}$ als Auszahlung nach der zweiten Wette,

# $S(\backslash omega)\; :=\; X(\backslash omega\_1)\; +\; X(\backslash omega\_2)\; \backslash in\backslash \{0,1,2\backslash \}$ als Summe der beiden Auszahlungen.

Zufallsvariable selbst werden üblicherweise mit einem Großbuchstaben bezeichnet (hier $X\_1,\; X\_2,\; S$), während man für die Realisationen die entsprechenden Kleinbuchstaben verwendet (so beispielsweise für $\backslash omega=\backslash left(\backslash text\{Zahl\},\backslash text\{Kopf\}\backslash right)$ die Realisationen $x\_1\; =\; 1$, $x\_2=0$, $s=1$).

Während früher der von A. N. Kolmogorow eingeführte Begriff Zufallsgröße der übliche deutsche Begriff war, hat sich heute (ausgehend vom englischen random variable) der etwas irreführende Begriff Zufallsvariable durchgesetzt. Zufallsvariable sind jedoch Funktionen und dürfen nicht mit den Variablen verwechselt werden, die üblicherweise in der Mathematik eingesetzt werden.Jeff Miller: Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics, Abschnitt [http://jeff560.tripod.com/r.html R].

Definition

Als Zufallsvariable bezeichnet man eine messbare Funktion von einem Wahrscheinlichkeitsraum in einen Messraum.

Eine formale mathematische Definition lässt sich wie folgt geben:Karl Hinderer: Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie. Springer, Berlin 1980. ISBN 3-540-07309-4 (nicht überprüft)

:Es seien $(\backslash Omega,\backslash Sigma,P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und $(\backslash Omega\text{'},\backslash Sigma\text{'})$ ein Messraum. Eine $(\backslash Sigma,\backslash Sigma\text{'})$-messbare Funktion $X\backslash colon\backslash Omega\backslash to\backslash Omega\text{'}$ heißt dann eine $\backslash Omega\text{'}$-Zufallsvariable auf $\backslash Omega$.

Beispiel: Zweimaliger Würfelwurf

thumb|Summe von zwei Würfeln: $(\backslash Omega,\backslash Sigma,P)\; \backslash xrightarrow\{S\}\; (\backslash Omega\text{'},\backslash Sigma\text{'},\; P^S)$.

Das Experiment, mit einem fairen Würfel zweimal zu würfeln, lässt sich mit folgendem Wahrscheinlichkeitsraum $(\backslash Omega,\; \backslash Sigma,\; P)$ modellieren:
* $\backslash Omega$ ist die Menge der 36 möglichen Ergebnisse $\backslash Omega=\backslash \{(1,1),\; (1,2),\; \backslash dotsc,\; (6,5),\; (6,6)\backslash \}$
* $\backslash Sigma$ ist die Potenzmenge von $\backslash Omega$

* Will man zwei unabhängige Würfe mit einem fairen Würfel modellieren, so setzt man alle 36 Ergebnisse gleich wahrscheinlich, wählt also das Maß $P$ als $P\backslash left(\backslash \{(n\_1,n\_2)\backslash \}\backslash right)\; =\; \backslash tfrac\; \{1\}\{36\}$ für $n\_1,\; n\_2\; \backslash in\; \backslash \{1,2,3,4,5,6\backslash \}$.

Die Zufallsvariablen $X\_1$, $X\_2$ und $S$ werden als folgende Funktionen definiert:

# $X\_1\backslash colon\; \backslash Omega\; \backslash to\; \backslash R;\backslash quad\backslash left(n\_1,n\_2\backslash right)\; \backslash mapsto\; n\_1,$
# $X\_2\backslash colon\; \backslash Omega\; \backslash to\; \backslash R;\backslash quad\backslash left(n\_1,n\_2\backslash right)\; \backslash mapsto\; n\_2,$ und
# $S\backslash colon\; \backslash Omega\; \backslash to\; \backslash R;\backslash quad\backslash left(n\_1,n\_2\backslash right)\; \backslash mapsto\; n\_1+n\_2,$

wobei für $\backslash Sigma\text{'}$ die borelsche σ-Algebra auf den reellen Zahlen gewählt wird.

Bemerkungen

In der Regel wird auf die konkrete Angabe der zugehörigen Räume verzichtet; es wird angenommen, dass aus dem Kontext klar ist, welcher Wahrscheinlichkeitsraum auf $\backslash Omega$ und welcher Messraum auf $\backslash Omega\text{'}$ gemeint ist.

Bei einer endlichen Ergebnismenge $\backslash Omega$ wird $\backslash Sigma$ meistens als die Potenzmenge von $\backslash Omega$ gewählt. Die Forderung, dass die verwendete Funktion messbar ist, ist dann immer erfüllt. Messbarkeit wird erst wirklich bedeutsam, wenn die Ergebnismenge $\backslash Omega$ überabzählbar viele Elemente enthält.

Einige Klassen von Zufallsvariablen mit bestimmten Wahrscheinlichkeits- und Messräumen werden besonders häufig verwendet. Diese werden teilweise mit Hilfe alternativer Definitionen eingeführt, die keine Kenntnisse der Maßtheorie voraussetzen:

Reelle Zufallsvariable

Bei reellen Zufallsvariablen ist der Bildraum die Menge $\backslash R$ der reellen Zahlen versehen mit der borelschen $\backslash sigma$-Algebra. Die allgemeine Definition von Zufallsvariablen lässt sich in diesem Fall zur folgenden Definition vereinfachen:

:Eine reelle Zufallsvariable ist eine Funktion $X\backslash colon\backslash Omega\backslash to\backslash R$, die jedem Ergebnis $\backslash omega$ einer Ergebnismenge $\backslash Omega$ eine reelle Zahl $X(\backslash omega)$ zuordnet und die folgende Messbarkeitsbedingung erfüllt:
::$\backslash forall\; x\; \backslash in\; \backslash R:\backslash \; \backslash lbrace\; \backslash omega\; \backslash mid\; X(\backslash omega)\; \backslash leq\; x\; \backslash rbrace\; \backslash in\; \backslash Sigma$

Das bedeutet, dass die Menge aller Ergebnisse, deren Realisation unterhalb eines bestimmen Wertes liegt, ein Ereignis bilden muss.

Im Beispiel des zweimaligen Würfelns sind $X\_1$, $X\_2$ und $S$ jeweils reelle Zufallsvariable.

Mehrdimensionale Zufallsvariable

Eine mehrdimensionale Zufallsvariable ist eine messbare Abbildung $X\backslash colon\backslash Omega\backslash to\backslash R^n$ für eine Dimension $n\backslash in\backslash Bbb\; N$. Sie wird auch als Zufallsvektor bezeichnet. Damit ist $X=(X\_1,\backslash dotsc,X\_n)$ gleichzeitig ein Vektor von einzelnen reellen Zufallsvariablen $X\_i\backslash colon\backslash Omega\backslash to\backslash R$, die alle auf dem gleichen Wahrscheinlichkeitsraum definiert sind. Die Verteilung von $X$ wird als multivariat bezeichnet, die Verteilungen der Komponenten $X\_i$ nennt man auch Randverteilungen. Die mehrdimensionalen Entsprechungen von Erwartungswert und Varianz sind der Erwartungswertvektor und die Kovarianzmatrix.

Im Beispiel des zweimaligen Würfelns ist $X=(X\_1,X\_2)$ eine zweidimensionale Zufallsvariable.

Komplexe Zufallsvariable

Bei komplexen Zufallsvariablen ist der Bildraum die Menge $\backslash Bbb\; C$ der komplexen Zahlen versehen mit der durch die kanonische Vektorraumisomorphie zwischen $\backslash Bbb\; C$ und $\backslash R^2$ „geerbten“ borelschen σ-Algebra. $X$ ist genau dann eine Zufallsvariable, wenn Realteil $\backslash operatorname\{Re\}(X)$ und Imaginärteil $\backslash operatorname\{Im\}(X)$ jeweils reelle Zufallsvariable sind.

Die Verteilung von Zufallsvariablen, Existenz

Eng verknüpft mit dem eher technischen Begriff einer Zufallsvariablen ist der Begriff der auf dem Bildraum von $X\backslash ;$ induzierten Wahrscheinlichkeitsverteilung. Mitunter werden beide Begriffe auch synonym verwendet. Formal wird die Verteilung $\backslash ;P^X$ einer Zufallsvariablen $X\backslash ;$ als das Bildmaß des Wahrscheinlichkeitsmaßes $P\backslash ;$ definiert, also
:$\backslash ;P^X\; (A)\; =\; P\; \backslash left(X^\{-1\}(A)\backslash right)$ für alle $A\; \backslash in\; \backslash Sigma\text{'}$.

Statt $\backslash ;P^X$ werden in der Literatur für die Verteilung von $X\backslash ;$ auch die Schreibweisen $P\_X,\; X(P)\backslash ;$ oder $P\; \backslash circ\; X^\{-1\}$ verwendet.

Spricht man also beispielsweise von einer normalverteilten Zufallsvariablen, so ist damit eine Zufallsvariable mit Werten in den reellen Zahlen gemeint, deren Verteilung einer Normalverteilung entspricht.

Häufig wird von einer Zufallsvariablen lediglich die Verteilungsfunktion angegeben und der zu Grunde liegende Wahrscheinlichkeitsraum weggelassen. Für die mathematische Untersuchung ist der modellierte Vorgang der realen Welt uninteressant; es wird lediglich die von dieser Zufallsvariablen induzierte Verteilung mathematisch untersucht. Dies ist vom Standpunkt der Mathematik erlaubt, sofern es tatsächlich einen Wahrscheinlichkeitsraum gibt, der eine Zufallsvariable mit der gegebenen Verteilung erzeugen kann. Ein solcher Wahrscheinlichkeitsraum $(\backslash Omega,\backslash Sigma,P)$ lässt sich aber zu einer konkreten Verteilung leicht angeben, indem beispielsweise $\backslash Omega=\backslash R$, $\backslash Sigma$ als die Borelsche σ-Algebra auf den reellen Zahlen und $P$ als das durch die Verteilungsfunktion induzierte Lebesgue-Stieltjes-Maß gewählt wird.Robert B. Ash: Real Analysis and Probability. Academic Press, New York 1972. ISBN 0-12-065201-3 (Definition 5.6.2)

Die Frage nach der konkreten Gestalt des Wahrscheinlichkeitsraumes tritt also in den Hintergrund, es ist jedoch von Interesse, ob zu einer Schar von Zufallsvariablen mit vorgegebenen gemeinsamen Verteilungen ein Wahrscheinlichkeitsraum existiert, auf dem sie sich gemeinsam definieren lassen. Diese Frage wird für unabhängige Zufallsvariablen durch einen Existenzsatz von É. Borel gelöst, der besagt, dass man im Prinzip auf den von Einheitsintervall und Lebesgue-Maß gebildeten Wahrscheinlichkeitsraum zurückgreifen kann. Ein möglicher Beweis nutzt, dass sich die binären Nachkommastellen der reellen Zahlen in [0,1] als ineinander verschachtelte Bernoulli-Folgen betrachten lassen (ähnlich Hilberts Hotel). Olav Kallenberg: Foundations of Modern Probability, 2. Ausgabe. Springer, New York 2002, ISBN 0-387-95313-2, S. 55.

Mathematische Attribute für Zufallsvariable

Verschiedene mathematische Attribute, die in der Regel denen für allgemeine Funktionen entlehnt sind, finden bei Zufallsvariablen Anwendung. Die häufigsten werden in der folgenden Zusammenstellung kurz erklärt:

diskret

Eine Zufallsvariable wird als diskret bezeichnet, wenn sie nur endlich viele oder abzählbar unendlich viele Werte annimmt. Im obigen Beispiel des zweimaligen Würfelns sind alle drei Zufallsvariablen $X\_1$, $X\_2$ und $S$ diskret.

konstant

Eine Zufallsvariable wird als konstant bezeichnet, wenn sie nur einen Wert annimmt: $X(\backslash omega)=c$ für alle $\backslash omega$. Sie ist ein Spezialfall der diskreten Zufallsvariable.

unabhängig

Zwei Zufallsvariablen X,Y heißen unabhängig, wenn die von ihnen erzeugten Ereignisräume stochastisch unabhängig sind. Das sind sie, wenn für je zwei Intervalle $[a\_1,b\_1]$ und $[a\_2,b\_2]$ die Ereignisse $E\_X\; :=\; \backslash \{\; \backslash omega\; |\; X(\backslash omega)\; \backslash in\; [a\_1,b\_1]\; \backslash \}$ und $E\_Y\; :=\; \backslash \{\; \backslash omega\; |\; Y(\backslash omega)\; \backslash in\; [a\_2,b\_2]\; \backslash \}$ stochastisch unabhängig sind. Das sind sie, wenn gilt: $P(E\_X\; \backslash cap\; E\_Y\; )\; =\; P(E\_X)\; P(E\_Y)$.

In obigem Beispiel sind $X\_1$ und $X\_2$ unabhängig voneinander; die Zufallsvariablen $X\_1$ und $S$ hingegen nicht.

Unabhängigkeit mehrerer Zufallsvariablen $X\_1,\; X\_2,\; \backslash dotsc,\; X\_n$ bedeutet, dass das Wahrscheinlichkeitsmaß $P\_X$ des Zufallsvektors $X=\backslash left(X\_1,\; X\_2,\; \backslash dotsc,\; X\_n\backslash right)$ dem Produktmaß der Wahrscheinlichkeitsmaße der Komponenten, also dem Produktmaß von $P\_\{X\_1\},\; P\_\{X\_2\},\; \backslash dotsc,\; P\_\{X\_n\}$ entspricht.Robert B. Ash: Real Analysis and Probability. Academic Press, New York 1972. ISBN 0-12-065201-3 (Definition 5.8.1) So lässt sich beispielsweise dreimaliges unabhängiges Würfeln durch den Wahrscheinlichkeitsraum $(\backslash Omega,\backslash Sigma,P)$ mit
:$\backslash Omega=\backslash \{1,2,3,4,5,6\backslash \}^3$,
:$\backslash Sigma$ der Potenzmenge von $\backslash Omega$ und
:$P\backslash left(\backslash left(n\_1,\; n\_2,\; n\_3\backslash right)\backslash right)=\backslash frac\{1\}\{6^3\}=\backslash frac\{1\}\{216\}$
modellieren; die Zufallsvariable "Ergebnis des $k$-ten Wurfes" ist dann
:$X\_k\backslash left(n\_1,\; n\_2,\; n\_3\backslash right)=n\_k$ für $k\backslash in\backslash \{1,2,3\backslash \}$.

Die Konstruktion eines entsprechenden Wahrscheinlichkeitsraums für eine beliebige Familie unabhängiger Zufallsvariable mit gegebenen Verteilungen ist ebenfalls möglich. Schmidt, Klaus D.: Maß und Wahrscheinlichkeit, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89729-3 (Kapitel 11.4)

identisch verteilt

Zwei oder mehr Zufallsvariablen heißen identisch verteilt (bzw. i.d. für identically distributed), wenn ihre Verteilungen gleich sind. In Beispiel des zweimaligen Würfelns sind $X\_1$, $X\_2$ identisch verteilt; die Zufallsvariablen $X\_1$ und $S$ hingegen nicht.

unabhängig und identisch verteilt

Häufig werden Folgen von Zufallsvariablen untersucht, die sowohl unabhängig als auch identisch verteilt sind; dieser Fall wird üblicherweise mit u.i.v. bzw. i.i.d. (für independent and identically distributed) bezeichnet.

In obigem Beispiel des dreimaligen Würfelns sind $X\_1$, $X\_2$ und $X\_3$ i.i.d. verteilt. $S\_\{1,2\}=X\_1+X\_2$ (die Summe der ersten beiden Würfe) und $S\_\{2,3\}=X\_2+X\_3$ (die Summe des zweiten und dritten Wurfs) sind zwar identisch verteilt, aber nicht unabhängig. $S\_\{1,2\}$ und $X\_3$ sind unabhängig, aber nicht identisch verteilt.

Mathematische Attribute für reelle Zufallsvariable

Kenngrößen

Zur Charakterisierung von Zufallsvariablen dienen einige wenige Funktionen, die wesentliche mathematische Eigenschaften der jeweiligen Zufallsvariable beschreiben. Die wichtigste dieser Funktionen ist die Verteilungsfunktion, die Auskunft darüber gibt, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Zufallsvariable einen Wert bis zu einer vorgegebenen Schranke annimmt, beispielsweise die Wahrscheinlichkeit, höchstens eine Vier zu würfeln. Bei stetigen Zufallsvariablen wird diese durch die Wahrscheinlichkeitsdichte ergänzt, mit der die Wahrscheinlichkeit berechnet werden kann, dass die Werte einer Zufallsvariablen innerhalb eines bestimmten Intervalls liegen. Des Weiteren sind Kennzahlen wie der Erwartungswert, die Varianz oder höhere mathematische Momente von Interesse.

stetig oder kontinuierlich

Das Attribut stetig wird für unterschiedliche Eigenschaften verwendet.
:* Eine reelle Zufallsvariable wird als stetig (oder auch absolut stetig) bezeichnet, wenn sie eine Dichte besitzt (ihre Verteilung absolutstetig bezüglich des Lebesgue-Maßes ist).Marek Fisz: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1989 (11.Aufl., Definition 2.3.3)

:* Eine reelle Zufallsvariable wird als stetig bezeichnet, wenn sie eine stetige Verteilungsfunktion besitzt.Robert B. Ash: Real Analysis and Probability. Academic Press, New York 1972, S.210. ISBN 0-12-065201-3 Insbesondere bedeutet das, dass $P(\backslash \{X=x\backslash \})=0$ für alle $x\backslash in\backslash R$ gilt.

Messbarkeit, Verteilungsfunktion und Erwartungswert

Wenn eine reelle Zufallsvariable $X$ auf dem Ergebnisraum $\backslash Omega$ und eine messbare Funktion $g\backslash colon\; \backslash R\; \backslash to\; \backslash R$ gegeben ist, dann ist auch $Y\; =\; g(X)$ eine Zufallsvariable auf demselben Ergebnisraum, da die Verknüpfung messbarer Funktionen wieder messbar ist. $g(X)$ wird auch als Transformation der Zufallsvariablen $X$ unter $g$ bezeichnet. Die gleiche Methode, mit der man von einem Wahrscheinlichkeitsraum $(\backslash Omega,\; \backslash Sigma,\; P)$ nach

$(\backslash R,\; \backslash mathcal\{B\}(\backslash R),P^X)$ gelangt, kann benutzt werden, um die Verteilung von $Y$ zu erhalten.

Die Verteilungsfunktion von $Y$ lautet

:$F\_Y(y)\; =\; \backslash operatorname\{P\}(g(X)\; \backslash leq\; y)$.

Der Erwartungswert einer quasi-integrierbaren Zufallsgröße $X$ von $(\backslash Omega,\; \backslash Sigma,\; P)$ nach $(\backslash bar\{\backslash R\},\; \backslash mathcal\{B\}(\backslash bar\{\backslash R\}))$ berechnet sich folgend:

:$\backslash operatorname\{E\}(X)\; =\; \backslash int\_\backslash Omega\; X(\backslash omega)\backslash mathrm\{d\}P(\backslash omega)\backslash ,$.

integrierbar und quasi-integrierbar

Eine Zufallsvariable heißt integrierbar, wenn der Erwartungswert der Zufallsvariable existiert und endlich ist. Die Zufallsvariable heißt quasi-integrierbar, wenn der Erwartungswert existiert, möglicherweise aber unendlich ist. Jede integrierbare Zufallsvariable ist folglich auch quasi-integrierbar.

Beispiel

Es sei $X$ eine reelle stetig verteilte Zufallsvariable und $Y\; =\; X^2$.

Dann ist

:$F\_Y(y)\; =\; \backslash operatorname\{P\}(X^2\; \backslash leq\; y).$

Fallunterscheidung nach $y$:

:$$
\begin{alignat}{2}
& & \operatorname P(X^2 \leq y) &= 0\\
&\Rightarrow & F_Y(y) &= 0
\end{alignat}

$y\backslash geq\; 0:$
:$$
\begin{alignat}{2}
& & \operatorname P(X^2\leq y) &=\operatorname P(|X|\leq\sqrt y)\\
& & &= \operatorname P(-\sqrt y\leq X\leq\sqrt y)\\
&\Rightarrow & F_Y(y) &= F_X(\sqrt y) - F_X(-\sqrt y)
\end{alignat}

Standardisiertheit

Eine Zufallsvariable nennt man standardisiert, wenn ihr Erwartungswert 0 und ihre Varianz 1 ist. Die Transformation einer Zufallsvariable $Y$ in eine standardisierte Zufallsvariable
:$X=\backslash frac\{Y-\backslash operatorname\{E\}(Y)\}\{\backslash sqrt\{\backslash operatorname\{Var\}(Y)\}\}$

bezeichnet man als Standardisierung der Zufallsvariable $Y$.

Sonstiges

• Zeitlich zusammenhängende Zufallsvariablen können auch als stochastischer Prozess aufgefasst werden
  

  * Eine Folge von Realisationen einer Zufallsvariable nennt man auch Zufallssequenz

  Belege

  
  

  Literatur

* Karl Hinderer: Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie. Springer, Berlin/Heidelberg/New York 1980, ISBN 3-540-07309-4

* Erich Härtter: Wahrscheinlichkeitsrechnung für Wirtschafts- und Naturwissenschaftler. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1974, ISBN 3-525-03114-9

Weblinks

{{Wikibooks|Mathematik: Statistik: Zufallsvariablen|Zufallsvariablen}}
{{Wikibooks|Mathematik: Statistik: Funktionen von Zufallsvariablen|Funktionen von Zufallsvariablen}}

* [http://www.biostat.uzh.ch/teaching/lecturenotes/scripts2/skript.pdf Statistik III] – Skript zur Vorlesung von Leonhard Held, Ludwig-Maximilians-Universität München, 2006 (PDF-Datei; 741 kB)

Kategorie:Statistischer Grundbegriff

af:Stogastiese veranderlike
ar:متغير عشوائي
bn:দৈব চলক
ca:Variable aleatòria
cs:Náhodná veličina
da:Stokastisk variabel
el:Τυχαία μεταβλητή
Random variable
eo:Hazarda variablo
es:Variable aleatoria
eu:Zorizko aldagai
fa:متغیر تصادفی
Variable aléatoire
gl:Variable aleatoria
he:משתנה מקרי
hu:Valószínűségi változó
is:Slembibreyta
it:Variabile casuale
ka:შემთხვევითი სიდიდე
kk:Кездейсоқ шама
ko:확률변수
mk:Случајна променлива
nl:Stochastische variabele
no:Stokastisk variabel
pl:Zmienna losowa
pt:Variável aleatória
ro:Variabilă aleatoare
ru:Случайная величина
scn:Variabbili aliatoria
sh:Slučajna varijabla
simple:Random variable
sl:Slučajna spremenljivka
sr:Случајна променљива
su:Variabel acak
sv:Stokastisk variabel
ta:சமவாய்ப்பு மாறி
th:ตัวแปรสุ่ม
tr:Rassal değişken
uk:Випадкова величина
ur:تصادفی متغیر
vi:Biến ngẫu nhiên
zh:随机变量

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